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圖片
週期函數,週期波形,傅立葉諧波(泛音)

要了解泛音,首先您會聽到琴弦的主要振動,在下面的圖片中,它顯示了涉及整個琴弦長度的振動。接下來,您會聽到一半弦長的振動。它是主要聲音的下一個“八度”。然後,您會聽到由弦長的1 / 3、1 / 4、1 / 5等引起的振動,主聲音中的這些“附加”稱為泛音,有些泛音較大,而另一些則較安靜。這就是每種樂器發出其獨特聲音的原因。
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泛音不僅可以在音樂中使用,他們可以為任何循環過程添加有意義的東西,看看軟件計算出的純正弦波與帶有泛音的同一波-豐富波之間的區別。

這是一個145天的波:
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下面是具有兩個泛音和八個泛音的同一波:
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人們經常將周期理解為類似於以下內容的理想性波動:
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波浪可能看起來像隨機,但其實是有序的循環:
這兩條曲線(即理想的正弦波和上方的不規則波)具有相同的特徵:如果我們在346天上移動任意一條曲線,我們將得到完全相同的曲線。
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這是一個週期這個週期,而這些曲線被稱為 週期函數。這兩條曲線代表不同周期的波形,但周期相同 。
​

本文的重點是:分析這些不規則波,您無需在此處應用其他數學技術。使用與不規則波動波相同的數學程序分析任何理想的波。

這種方法的數學基礎是 傅里葉系列 技術。對於我們的346天波動的情況,它可能是這樣形成的:週期為346天的任何週期波動都是作為正弦和余弦諧波(或泛音)之和計算的。對於346天,即346天波動,泛音是346/2 = 173天波動,346/3 = 115.3天波動,346/4 = 86.5天波動等。這是公式:
A0 + A1 *(346 d正弦波)+ A2 *(346 d餘弦波)+ A3 *(173 d正弦波)+ A4 *(173 d餘弦波)+ ...


現在,我想演示該技術如何與軟件一起使用。
我已使用以下定期模式手動創建了價格歷史數據集:
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在底部A之後的74天內,我們獲得頂部B;然後在37天之後,我們擁有底部C,在頂部D中擁有34天,在底部E中擁有66天,在頂部F中擁有93天,在底部G中擁有42天。總共,此模式涵蓋346天;每346天重複一次。

我運行頻譜模塊
,立即顯示出存在346天的周期,您會看到那裡的頂峰:

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現在我們已經掌握了346天的周期,並要求程序僅使用一個泛音來構建投影線。
即該投影線被計算為兩個波的疊加:正弦346波和余弦346波。
如下圖:
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現在,請注意一些有關諧波分析的小課程;這是常見問題之一。
程序如何找到此346波的相位?


答案是:程序自動執行,您無需擔心找到階段。正如數學家所說,兩波:346天和余弦346天-形成正交的基礎。換句話說,任何相位的任何346波都可以計算為正弦346和余弦346波的疊加。
像這樣:
任意346天方式= A1 *346天波動+ A2 *餘弦346天波動

您只需計算那些係數A1和A2,這就是時序解決方案的實際作用。有了係數A1和A2,您可以輕鬆地計算相位(這是眾所周知的三角公式)。  
好的,我希望現在可以解決相位問題,但是波形呢?上面的波不能很好地適應我們的不規則波。它只是顯示出非常普遍的趨勢。


也不必擔心波形。泛音完美地完成了這項工作,我認為這是一個事實,約瑟夫·傅立葉(Joseph Fourier)在1807年發明傅立葉級數(三角級數)時就感到驚訝。
讓我們在投影線上添加二次諧波(泛音),即173天的正弦和余弦波。

現在看看我們的投影線:
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現在我們再加上三次諧波,即115.3天波。它顯示了所有轉折點:
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我們在一個週期內的不規則波涵蓋了6個轉折點。
因此,在整個346天的周期內,三次諧波也涵蓋了6個轉折點。


現在,我添加了4次諧波,即86.5天週期;您會看到一條紅色的投影線,
​現在顯示不規則性的情況要好得多:
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添加了5次諧波:
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進行8次泛音,紅色投影線和黑色原始不規則波實際上是相同的:
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例如:我將展示如何建模方波,這是方波的示例。
​

從1月1日到7月1日,此函數等於1,所有其他月份等於0。這是一個經典示例,您幾乎可以在所有有關諧波分析的書中找到它。讓我們使用時序解決方案來做到這一點。
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